Trigonometrijos testo istorija. Trigonometrijos istorija: naujienos ir raida І istorinė pastaba apie trigonometrijos raidą

Pirmųjų triračių motociklų paklausa anksčiau nei visas astronomijos metines: ir per visą valandą trigonometrija vystėsi kaip vienas iš astronomijos liudininkų.

Naskіlki vіdomo: trikutnikіv (sferinio) atgaivinimo būdai, kuriuos pirmą kartą parašė Wikladenas, graikinio riešuto astronomas Hiparchas II amžiaus viduryje prieš Kristų Remiantis naujausiais pasiekimais, riešutmedžio gūžių trigonometrija siejama su astronomu Ptolemeju (2 a. po Kr.), geocentrinės šviesos sistemos kūrėjais, kurie žengia į Koperniką. Graikų astronomai nežinojo sinusų, kosinusų ir liestinių. Smirdžių reikšmių lenteles pakeisti naudojo lenteles: kolos akordą leidžiama traukti traukiant dusi. Lankai buvo matuojami laipsniais ir kalnų linijomis; Ordos taip pat buvo matuojamos laipsniais (vienas laipsnis tapo šešiasdešimties spindulio dalių), čilinais ir sekundėmis. Tse shistdejkova gimė graikai tarp babiloniečių.

Indijos amžiaus vidurio astronomų vertės iki trigonometrijos imtinai. Akordų pakeitimas sinusais tapo pagrindiniu Indijos astronomų pasiekimu, leidusiu diegti skirtingas funkcijas, susietas su stačiakampio triračio šonais ir kutais. Tokiu rangu Indijoje įdedama trigonometrijos ausis, jak vchenya apie trigonometrines vertes.

Trigonometrija yra būtina astronominiams tyrimams, nes jie sudaromi lentelės pavidalu. Pirmoji sinusų lentelė „Surya-siddhanti“ ir Ariabhati. Vaughn pateikiamas per 3,4,5. Kuo greičiau buvo pridėta daugiau paskaitų lentelių: pavyzdžiui, Bhaskar, kad būtų galima pagaminti lentelę prie sinusų 1.

Pivdenno-Indijos matematikai XVI amžiuje siekė didelių laimėjimų nepertraukiamų skaičių eilučių sumavimo srityje. Mabut, smirdžiai buvo užsiėmę tsimiais doslidženiais, jei juokavo apie didesnių tikslių P. Nilakanto skaičiaus verčių apskaičiavimo būdus, žodžiu gamindami arktangento išdėstymo į daugybę statulų taisykles. O anoniminiame traktate „Karanapaddhati“ („Skaičiavimo technika“) yra pateiktos sinuso ir kosinuso išdėstymo daugelyje būsenų taisyklės. Reikia pasakyti, kad Europoje daugiau rezultatų per pastaruosius 17-18 amžių. Taigi, sinuso ir kosinuso viviv I. Newton serija yra artima 1666 roko, o arctangento buv žinių serija J. Gregori 1671 r ir G. V. Leibnits 1673 r.

Trigonometrija yra matematinė disciplina apie triračio vivchaє gausą tarp šonų ir kutami. Trigonometrija yra graikinių riešutų žodis ir pažodžiui reiškia vimir trikutnikiv.

Trigonometrijos laimėjimas yra susietas su žemės matavimu, astronomija ir pažadinimo skambučiu. Trigonometrija iš praktinių žmonių poreikių. Be to, galima pamatyti iki nepasiekiamų objektų, o sutos kontekste padėti geodeziniam objektų rinkimo procesui lankstyti geografinius žemėlapius.

Pirma, trikutnikų gaivinimo būdus, pagrįstus pūdymu tarp trikutniko šonų ir kutų, žinojo senovės graikų astronomai Hiparchas (2 a. pr. Kr.) ir I Klaudijus Ptolemėjus (2 a. N. Ye.). Ptolemėjus vivіv spіvvіdnoshennya mіzh akordų skaičius, mokyklų mainai gaminti iki dabartinių formulių sinusų per pusę sumažinti. Triviali istorija yra išmoktas sinusas. Tiesą sakant, tricitų ir kolų skaičiaus augimas taip pat pastebimas III amžiuje prieš Kristų. didžiųjų senovės Graikijos matematikų Euklido, Archmedo, Pergo Apolonijos robotuose. Romėnų laikais Menelajas (I a. n.e.) sistemingai jį skaitė iki dienos pabaigos, jei negaudavo specialaus vardo.

Pavyzdžiui, retkarčiais esantis sinusas, įsuktas į pusakordio jaką, centrinis kutas spirale užsuka ant jako dydžio arba jako styga lanko pagrindu. Žodis kosinusas yra nabagato jaunesnis. Greitos lotyniškos virazos kosinusas yra visiškai sinusinis, ty „Dodatkovy sine“.

Tangensi buvo rastas kartu su užduočių apie vakarienės vertę sprendimais. Tangentą (taip pat ir kotangentą) X amžiuje įvedė arabų matematikas Abulas Wafoy, kuris yra pirmoji liestinių ir kotangentų reikšmių lentelė.

Tolesnė trigonometrijos raida buvo apleista žymių astronomų Mikolio Koperniko (1473–1543), heliocentrinės šviesos sistemos kūrėjo Tycho Brahe (1546–1601) ir Johanneso Keplerio (1571–1630) protėviuose. robotai, matematikas François Bіє3. Aš dar kartą peržiūrėjau problemą dėl visų plokščio arba sferinio triračio elementų žymėjimo trimis duomenimis. Iš esmės analitinę trigonometrinių funkcijų teoriją sukūrė žymus XVIII amžiaus matematikas Leonardas Eileris (1707-1783), Peterburgo mokslų akademijos narys. Pats Eyleris pirmą kartą pristatė trigonometrinių funkcijų apibrėžimą, tapdamas iš anksto paruošto kut funkcijų vaizdu, paimdamas pateiktas formules.

Tokiame trigonometrijoje triračių kūrimo mokslas peraugo į trigonometrinių funkcijų mokslą.

1.1 Trigonometrijos jakų mokslo raidos etapas

Trigonometrija yra vienas iš jauniausių elementariosios matematikos pavyzdžių, kuris buvo atmestas XVIII amžiuje. ., ta in.). Europos matematikai yra pasiekę aukščiausią išprusimo lygį natūraliųjų sinusų ir liestinių skaitinėse lentelėse (Regiomontanus, XV a., Reticus ir Pitiskus, XVI a., Ta in.).

Pats pavadinimas yra graikinio riešutmedžio trigonometrija, reiškianti „vimir trikutnikiv“: (trigonon) – trikutnik, (metrain) – vimir.

Mokslinę trigonometrijos raidą nagrinėjo L. Eileris veikale „Jntroductio in analysis infinitorum“ (1748). Išsprendęs trigonometriją kaip mokslą apie funkcijas, davęs pirmąsias analitines viklades, iš nepagrindinių formulių išvydęs visą formulių įvairovę. Žymi pusės mažomis raidėmis ir prototipinis kutіv - natūra didelės raidės leido jam supaprastinti visas formules, įnešti į jas aiškumo ir griežtumo. Eileris atsekti idėją žiūrėti į trigonometrines funkcijas kaip nuo tų pačių linijų iki kuolo spindulio, ty Jako skaičiaus, kai kuolo spindulys kaip "povny sinusas" imamas kaip vienas. Eileris, pašalinęs keletą naujų spivvidnoshen, nustatęs ekranų trigonometrinių funkcijų nuorodas, suteikęs ženklų taisyklę funkcijose visiems keturkampiams, apkarpęs bendrą pateiktos trigonometrijos formulę visuose matematikuose.

L. Eilerio TVir buvo pagrindas trigonometrijos tvarkytojams. Viena pirmųjų S. Rumovskio knygų „Greioji matematika“ (1760 m.), išleista „Pochatkovi plokščiosios trigonometrijos pavidalu“, Visos viklados pastatytos iki trikutnikivo datos (paprasčiausios), skaičiuojama baigiant sulenkimo taku, apie dienos funkcijas.

Tokiame reitinge vyno trigonometrija geometriniu pagrindu, mažoji geometrinė kalba ir geometrinių problemų apibrėžimas. Algebrinės simbolikos raida leido į formules užrašyti trigonometrinius ryšius; Neigiamų skaičių išsaugojimas leido matyti tiesius kuti ir lankus bei praplėsti trigonometrinių linijų supratimą (dainuojant vidrizkiv skaičių) bet kuriam kuti. Laikotarpio pabaigoje buvo suformuotas trigonometrinių funkcijų, kaip skaitinio argumento funkcijų, kūrimo pagrindas, analitinės trigonometrinių (apskritųjų) funkcijų teorijos pagrindas. Analitinis aparatas, leidžiantis tam tikru tikslumu apskaičiuoti trigonometrinių funkcijų reikšmes su Niutono fragmentacija.

Trigonometrija buvo atimta iš karčiojo viglyado didžiojo dvasininko, Rusijos mokslų akademijos nario L. Eilerio (1707 - 1783) darbuose. Eileris, pradėjęs nagrinėti trigonometrinių funkcijų, tokių kaip skaičius, reikšmę – trigonometrinių linijų dydį skaičiumi, kurių spindulys imamas vienetu („trigonometrinis skaičius“ arba „vienas skaičius“). Eileris pateikė likutinį sprendimą apie trigonometrinių funkcijų požymius mažuose kirminuose visose trigonometrinėse formulėse nuo pagrindinių, prieš naujas formules nustačiusi daugybę negyvenamųjų ta pačia prasme. Pati pirmoje vietoje yra įrašai. Taip pat yra sąsajų tarp trigonometrinių ir rodymo funkcijų rodymas naudojant sudėtingą argumentą. Prie L.Eylerio kūrinio bus eksponuojamas trigonometrinių antrankių šūsnis, kuris bus pergalingas mokslo istorijoje.

Analitinė (mėgstama išdėstyti geometrijoje) paskatino trigonometrinių funkcijų teoriją, kurią paskelbė Eileris ir užbaigė didžiojo rusų mokslininko N. I. darbuose. Lobačevskis.

Dabartinis požiūris į trigonometrines funkcijas ir skaitinio argumento funkciją yra turtingas tuo, ką apstu fizikos, mechanikos, technologijų raidos. Šios funkcijos sudarė pagrindą matematiniam aparatui, kurio pagalba vyksta įvairūs periodiniai procesai: rankų susidūrimas, šaltkrėtis, mechanikos griūtis, piktos elektros stygos susiliejimas. Parodžius J. Fur'є (1768 - 1830), bet koks periodinis srautas su tam tikru tikslumu gali būti pavaizduotas tarp paprasčiausių sinusoidinių (harmoninių) kolivanų. Yakshcho apie burbuolės trigonometrijos vystymąsi jei nusivylimas suko aplink kvadratus, ragindamas vingiuoto stačiakampio triračio šonus su „rivnii 1“ hipotenuzė 1, tada bendroje pristatymo kainoje jis taip pat tapo vaizduojamas, taip pat dviejų kolegijų sulankstymas sugriūna nuo jako.

Tokio rango burbuolės vystymosi stadijose trigonometrija pasitarnavo kaip skaitmeninių geometrinių problemų patikrinimo būdas. Її nedorai gerbė paprasčiausių geometrinių figūrų, tobto trikutnikų, elementų išvardinimą. Tačiau dabartinėje apsisprendimo trigonometrijoje ir kontekste trigonometrinių funkcijų galios svarba yra svarbesnė. Gamybos vienetų trigonometrijos kūrimo laikotarpiu įsibėgėjo sulankstomų stulpų mechanikos, garso, šviesos ir elektromagnetikos fizikos raida.

Pasibaigus laikotarpiui, trigonometrijos terminai і, zokrem, vivedenі spіvіdnoshennya for, de n yra natūralusis skaičius, і ін. Funkcijos, kurios dabar peržiūrimos būsenų eilučių sąraše:

Mayzhe taip pat vicladeno ir V. Nikitinos ir P. Suvorovo asistentas.
Mokslo ciklas Vikladas trigonometrijos ir akad. M. Є. Golovinas pas savo draugą „Plokščia ir sferinė trigonometrija su algebriniais įrodymais“, 1789 m. Šioje knygoje galite sužinoti visas svarbiausias trigonometrijos formules tame pačiame vaizde, kurį XIX amžiuje priėmė Vicladati. (Už sūkurinių trigonometrinių funkcijų viniato). Autorius nežino apie sekanto ir kosekanto įvedimo reikalingumą, todėl mažųjų tipų funkcija praktikoje įstrigo.
N. Fusso padėjėjas 1804 m. Knyga skirta mokykloms. „Plokščia trigonometrija, – sako autorius, – yra mokslas, kurio objektas yra trys triračio triračio dalių pagerbimai ir vaizdų skaičius, kad būtų galima pradėti tris dalis. Pidruchnik laikomas 4 dalimis. Pagrindinis supratimas, triračių sprendimas, trigonometrijos pridėjimas prie praktinės geometrijos ir geodezijos, kad, nareshty, papildymo teorema. Pidruchnik N. Fuss matomas kaip sferinė trigonometrija.

Krokas apiplėšė akademiką M.V. Ostrogradskį 1851 m. Jogo išplėtimas į kuti turi būti tokio paties dydžio.

Redaktorių rinkinys A.G. Mordkovičiau, jei nori žaisti be pagarbos, tavo vedliai gali būti neteisingi. § 3. Tų "Trigonometrinių funkcijų" tyrimo metodai algebros ir analizės eigoje Mokyklose ugdomosiose trigonometrinėse funkcijose galima įžvelgti du pagrindinius etapus:

Mokslininkai, mokyklos dokumentacija, rašydami visnovki apie šio supratimo įsisavinimo žingsnius. Pateikite informaciją apie matematinio klaidingo nukreipimo eigą ir kompleksinio skaičiaus supratimo formulavimo procesą. Metodų aprašymas. Diagnostika: I etapas. Pokalbis vyko su matematikos mokytoja, jak 10? Klasikinės viklados, algebra ir geometrija. Kalbant apie dienos pabaigą ant burbuolės...

Savivaldybės biudžetinė teisinė hipoteka

vidurinė mokykla №10

mirsime vivchennyam okremikh objektuose

Viconave projektas:

Pavlovas romėnas

mokinys 10b kl

kerivnik:

matematikos mokytojas

A

m Єlets, 2012 m

1. Įvadas.

3. Svit trigonometrija.

· Trigonometrija fizikoje.

· Trigonometrija planimetrijoje.

· Trigonometrija paslaptyje ir architektūroje.

· Trigonometrija medicinoje ir biologijoje.

3.2 Grafiniai teiginiai apie "mažo dviračio" trigonometrinių funkcijų transformaciją pradinėse kreivėse (už papildomų kompiuterinių programų "Funkcijos ir grafikai").

· Kreivės polinėmis koordinatėmis (rozetėmis).

· Kreivės Dekarto koordinatėmis (Curves Lissajous).

· Matematiniai ornamentai.

4. Visnovok.

5. Literatūros sąrašas.

Meta projektas - susidomėjimo tų "trigonometrijos" įvedimu plėtra algebros ir burbuolės analizės metu per medžiagos taikomosios reikšmės prizmę; grafinių viglyadі, scho keršto trigonometrinių funkcijų išplėtimas; zasosuvannya trigonometrija tokiuose moksluose kaip fizika, biologija. Nenutrauksiu laimėtojo vaidmens medicinoje, o be jo muzikoje ir architektūroje jo rasti neįmanoma.

Ob'єkt doslіdzhennya - trigonometrija

Tema Doslіdzhennya - taikomas trigonometrijos tiesumas; grafikai deyakykh funktsіy, iš vikorystannyam trigonometrinių formulių.

Zavdannya doslіdzhennya:

1. Apsvarstykite testo istoriją ir trigonometrijos raidą.

2. Rodyti ant konkrečių užpakalių yra praktinis trigonometrijos testas Rusijos moksluose.

3. Išplėskite trigonometrinių funkcijų suaktyvinimo galimybes, kurios leidžia "mažoms gudrybėms" funkcijoms iš naujo paversti funkcijomis, grafikais, kurie gali pasiekti pradinį žiūrovą.

Hipotezė – receptas: Trigonometrijos ryšys su navkolishnіm šviesa, trigonometrijos reikšmė kuriant praktinius pastatus, grafinis trigonometrinių funkcijų lankstumas leidžia „materializuoti“ mokyklų žinias. Tai leidžia, dar gražiau, gyvenimo intelektą, žinių poreikį, kuris yra susijęs su trigonometrijos sužadinimu, ir susidomėjimą prieš tai, kas duota.

Doslіdzhennya metodas - matematinės literatūros analizė iš pateiktų; konkrečių paraiškų peržiūra pagal pateiktų prašymų pobūdį; kompiuterio modelis, pagrįstas kompiuterinėmis programomis. Žiūrėkite matematiką „Funkcijos ir grafikai“ (Physicon).

1. Įvadas

„Vienam tapo aišku,

nedoras ir nuostabus“.

N. Rubcovas

Trigonometrija yra matematikos grandinė, kurioje yra nuosėdų tarp pjūvių verčių ir bandymų kraštinių ilgių, taip pat trigonometrinių funkcijų algebrinių galimybių. Laimei, tai ne tik matematikos pamokose, bet ir kasdieniame gyvenime. Galėjai negalvoti apie visumą, bet trigonometrija buvo studijuojama tokiuose moksluose kaip fizika, biologija, aš nesustabdysiu tavo vaidmens medicinoje, ir, na, daugiau rasti, be jos neįmanoma. naršyti muzikoje. Man tenka svarbus vaidmuo kuriant įrankį, skirtą teorinėms žinioms kaupti praktinėse teorinėse žiniose, kurias atėmė matematikos raida ir žaidimo su praktiniu vilku. Odos vivchaє matematikas, tsіkavit jakas і de stagnate іt іs otrimanі žinios. Pažiūrėkite į maitinimo šaltinį ir robotą.

2. Trigonometrijos raidos istorija.

žodį trigonometrija sulankstytas iš dviejų riešutmedžio žodžių: τρίγονον (trigon-trikutnik) ir і μετρειν (metrain - vimiryuvati) pažodžiui reiškia vimir tricutnikiv.

Pati triračio tse yra, kaip dabar sakoma, tricutnik sprendimas, tai yra praktinės zasosuvan trigonometrijos pagrindas.

Kaip mokslas, trigonometrija išsivystė iš žmogaus praktikos, peržiūrint konkrečius praktinius pastatus. Pirmasis trigonometrijos vystymosi žingsnis yra glaudžiai susijęs su astronomijos raida. Didelis astronomijos ir su ja glaudžiai susietos trigonometrijos raidos antplūdis reikalavo plėtoti jūrininkystę, o tam reikėtų teisingai nustatyti laivo kursą atviroje jūroje už materialios dangaus žiburių padėties. Svarbus vaidmuo plėtojant trigonometriją suvaidino geografinių žemėlapių lankstymą ir yra aiškiai susijęs su poreikiu teisingai įvardyti didelius įvykius žemės paviršiuje.

Trigonometrijos raidos pagrindas Malio, senovės graikų astronomo robotų, gimimo eroje Hiparchas(II a. pr. Kr. vidurys). Trigonometrija yra kaip mokslas, karčiai protingu žodžiu ji buvo ne tik iš Hiparcho, o iš senųjų, nes jie nepasigedo supratimo apie trobų funkcijas ir nesudėjo trijų pusių. kieme maisto budrumas. Pakeliui smarvė, šliaužianti per elementarių geometrijų elementus, laužė žinią, kaip elgtis su trigonometrija. Tuo pačiu metu pagrindinė priežastis, kodėl reikia atmesti reikiamus rezultatus, yra apskritimų akordų skaičius, skaičiuojamas kairėje to paties atstumo tarp teisingų trijų, chotiroh-, penkių ir dešimtainių taškų kraštų bei spindulio.

Pirmosios akordų lentelės Gipparkh sklavs, t.y. lentelės, kurios ištisinio spindulio skaičiumi susuka stygą kitai centrinei kutivei. Tse buli, pagal dieną, centrinės kut pusės sublinijinių sinusų lentelės. Be to, originalios Hiparcho lentelės (taip pat ir visos buvo parašytos) pas mus neatkeliavo, o apie jas galime pasakyti apeigų vedėjo iš „Didžiosios Pobudovos“ arba (arabiško vertimo)“ Almagest“ garsaus astronomo Klaudija Ptolemėja Jis gyvas II amžiaus viduryje. e.

Ptolemėjo perimetras yra 360 laipsnių, o skersmuo - 120 dalių. Laimėjimo vvvav spindulys lygus 60 dalių (60 ¢¢). Vyno dalių odelė – 60 ¢, plunksnos oda – 60 ¢¢, antroji – 60 trečdalių (60 ¢¢¢) ir tt vigliadoje yra 60 spindulio dalių (60 valandų) , o įbrėžto kvadrato kraštinė yra arba 90 ° styga su skaičiumi 84h51 ¢ 10². 120 ° kampu esanti styga yra įrašyto vienpusio triračio kraštinė - įbrėžto vienpusio triračio kraštinė yra laimėjimas skaičiumi 103ch55 ¢ 23 ² ir pan. , kuris tinka kuolo skersmeniui, bet ekrane užrašius Pifagoro teoremas: (akordas a) 2 + (styga | 180-a |) 2 = (skersmuo) 2, kuri bus pagrįsta dabartine formule sin2a + cos2a = 1.

„Almagest“ yra akordų lentelė, nubrėžta nuo 0 ° iki 180 °, nes dabartiniu požiūriu yra sinusinių bangų lentelė, skirta kutiv nuo 0 ° iki 90 ° per odą ketvirtadaliu laipsnio.

Visų graikų trigonometrinių skaičiavimų pagrindu Hiparcho namuose buvo Ptolemėjo teorema: „Tiesa, motyvacija ant chotirikutniko įstrižainių, įrašytų į skaičių, žemiškos stačių žmonių sumos, motyvuotos iš priešingų pusių“ (T.E. Ardantis su teorema, graikai (papildomai Pitagoro teoremai) išilgai dviejų kučių stygų (arba augimo stygos), sumi stygos (arba augimo stygos), pusės stygos duota kut, ty rіznitsі) du kutіv arba pusė kutos.

Nauji krosai trigonometrijos raidoje, susieti su tautų matematinės kultūros raida Indija, Vidurinė Azija ir Europa (V-XII).

Svarbus nėrimas į priekį laikotarpiu nuo V iki XII amžiaus, kai induistai šurmuliavo, nes graikų požiūriu jie pradėjo matyti ir gyventi ne visą akordą MM ¢ (dal. tada, kuris yra dabar vadinama sinuso linija – pusė centrinės kutos.

Tvarka su indusų sinusu buvo įvesta į trigonometrijos kosinusą, tiksliau, atrodo, jie pradėjo gyventi savo skaičiais kosinuso linija. (Pats terminas kosinusas Europos robotuose pirmą kartą pasirodė žymiai didesnis XVI a. pabaigoje. ) sinus komplementi greitai parašo yak sinus co arba co-sinus).

Їm buli vіdomі taip pat spіvіdnoshennya cosa = sin (90 ° -a) і sin2a + cos2a = r2, taip pat formulės sinusui sumi і skirtumas du kutіv.

Puolimo etapas tvarsčių su kraštais trigonometrijos raidoje

Vidurinė Azija, netoli kilmė, Užkaukazija (VII-XV amžius)

Rozvivayuchis į tіsnomu zv'yazku iš astronomієyu i geografієyu - serednoazіatska matematikos mažas yaskravo virazheny "obchislyuvalny charakterio" i Bula spryamovana apie virіshennya Taikomoji zavdan vimіryuvalnoї geometrії Aš trigonometrії ir trigonometrijos į sformuvalasya Ypač ically matematinis distsiplіnu į znachnіy mіrі Sama į Veikla serednoazіatskih vchenih. Tarp sėkmingų sėkmių skaičiaus, kurį jie išaugo, svarbiausi buvo įvesti pirmiausia dėl visų šešių trigonometrinių eilučių: sinuso, kosinuso, tangento, kotangento, sekanto ir kosekanto, kuriems pirmosios dvi kulkos. matosi graikai ir graikai.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif "width =" 41 "height =" 44 "> = a × ctgj dainuojančių dozhini polių (a = 12), kai j = 1 °, 2 °, 3 ° ......

Abu al-Vafa iš Khorosano, kuris gyvena X amžiuje (940-998), su analogiška "liestinių lentele", tai yra, suskaičiavus tini b = a × = a × tgj kiekį, atrodo, kad tai horizontalus smūgis dainavimo (a = 60) ant vertikalios sienos (žr. fotelį).

Slydo, reiškia, kad patys terminai „tangentas“ (pažodiniame vertime – „kaip jaustis“) ir „kotangentas“ kilo iš lotynų kalbos ir prasmingai atsirado Europoje (XVI–XVII a.). Vidurinės Azijos vcheni skirtingas eilutes vadino „tinnyu“: kotangentas – „pirmasis tinnyu“, tangentas – „kitas tinnyu“.

Abu-l-Wafa suteikė absoliučiai tikslesnę geometrinę liestinės linijos reikšmę trigonometriniame skaičiuje ir pridedant liestinės liniją bei sekantinės linijos ir kosekantos liestinę. Ta pačia prasme (žodine prasme) naudojamos algebrinės nuosėdos ir trigonometrinės funkcijos, o lašeliui, jei spindulio kola yra to paties tipo. Tsey priežiūros svarbiu vipadoku Europos vchenyi laikys prieš 300 metų. Nareshti, Abu-l-Wafa sklav sinusų lentelė per odą 10 ¢.

Tarp Vidurinės Azijos protėvių trigonometrija buvo paversta iš mokslo, kaip tarnybinės astronomijos, į specialią matematinę discipliną, kuri atstovauja nepriklausomam interesui.

Trigonometrija tampa savarankišku mokslu. Tse pakvietė mane poruotis su azerbaidžaniečio matematiko vardais Nasіreddіna Tusі ().

Pirmą kartą Europos mokslinėje stygoje trigonometrijos viklados pateikiamos knygoje „Apie apaštalų trikotikus“, parašyta Johanas Miuleris, Bilsh matematikoje im'yam Regiomontana (). Laimėti naujus stačiakampių triračių vizualizavimo metodus ir pateikti sinusų lenteles iki 0,0000001 tikslumu. Kartu tai stebuklinga tiems, kurie atsižvelgė į statymo spindulį lygų, tai yra, E. Vislovas paėmė trigonometrinių funkcijų reikšmę dešimtimis trupmenų, faktiškai transformavosi į šešiasdešimt sistemų ir numeraciją iki dešimčių. .

XIV amžiaus anglų kalbos mokymai Bradwardinas () Pirmasis Europoje yra trigonometrinis kotangento apskaičiavimas pavadinimu „tiesus tini“ ir liestinės pavadinimu „zorotnoy tini“.

Tuo metu, kai XVII a. Trigonometrijos plėtra turi naują tiesioginį analitinį požiūrį. Kalbant apie trigonometrijos galvos metriką, triračių kūrimas buvo svarbus, geometrinių figūrų elementų skaičiavimas ir trigonometrinių funkcijų idėja buvo grindžiama geometriniu pagrindu, tada XVII-XIX a. trigonometrija palaipsniui išauga į vieną iš matematinės analizės skyrių. Žinokite apie trigonometrinių funkcijų periodiškumo galią Viet Pirmoji matematinė dozė buvo nustatyta prieš trigonometriją.

Šveicarijos matematikas Johanas Bernulis () jau zastosovavav trigonometrinių funkcijų simboliai.

Pirmoje XIX amžiaus pusėje. prancūzų vcheny J. Fur'є dov, kaip būtų karts nuo karto, ruh gali būti pavaizduotas paprastos harmonijos kolivan viglyadi sumi.

Didelę reikšmę trigonometrijos istorijoje turi menkas garsaus Sankt Peterburgo akademiko kūrybiškumas. Leonardas Eileris (), laimėti dodav visus trigonometrii suchasny viglyad.

Savo darbe „Įvestas į analizę“ (1748 m.) Euleris sugriovė trigonometriją kaip mokslą apie trigonometrines funkcijas, suteikdamas pirmąją analitinę vikladą, iš pagrindinių formulių paėmęs visą trigonometrinių formulių rinkinį.

Eileriui atsekti likutinę mitybos būklę apie trigonometrinių funkcijų požymius visose suinteresuotose šalyse, formules, pateiktas atokioms vipadoms.

Įvedęs į matematiką naujas funkcijas - trigonometrines, jis tapo asistentu, padedančiu pateikti mitybą apie šių funkcijų pasiskirstymą neribotam skaičiui. Pasirodo, toks paskirstymas gali būti:

Sinx = x-https: //pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif "width =" 224 "height =" 47">

Šis skaičius leidžia žymiai sumažinti trigonometrinių verčių sulankstomą lentelę, kad būtų galima nustatyti bet kokį tikslumo laipsnį.

Eilerio paskelbta trigonometrinių funkcijų teorijos analitinė motyvacija, bulo užbaigta robotuose , Gauss, Koshi, Fur'є ir іnshikh.

„Geometriniai vaizdai, rašo Lobačevskis“, būtini iki trigonometrijos pradžios, kol smarvė pradeda matyti trigonometrinių funkcijų galią.

Mūsų trigonometrijos valanda nebeatrodo kaip savaime apsirengusi matematikos gilka. Naivazhlivisha її dalis apie trigonometrines funkcijas – є iš dalies uolesnė, paskatinta iš vieno požiūrio taško, apie funkcijas, kurias galima panaudoti matematinėje analizėje; іnsha f chastina - trikutnikiv sprendimas - galite pamatyti jį kaip geometrijos galvą.

3. Trigonometrijos pasaulis.

3.1 Trigonometrijos sąstingis senovės moksluose.

Trigonometrinis skaičiavimas naudojamas praktiškai visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse.

Didžiulė trikampio technikos reikšmė yra ta, kad ji leidžia netolimoje astronomijos ateities dalyje, tarp geografijos organizatorių, matyti kompanionų navigacijos sistemas. Slidas reiškia trigonometrijos sąstingį puolamose srityse: navigacijos technologijos, muzikos teorija, akustika, optika, finansų rinkų analizė, elektronika, vaizdų teorija, statistika, biologija, medicina (įskaitant) skaičius, seismologija, meteorologija, okeanologija, kartografija, gausus fizikos paplitimas, topografija, geodezija, architektūra, fonetika, ekonomika, elektroninės technologijos, mechanikos inžinerija, kompiuterinė grafika, kristalografija.

Trigonometrija fizikoje.

Harmoningas bendravimas.

Jei taškas žlunga išilgai tiesės pakaitomis viena kryptimi, tada viena kryptimi, tada atrodo, kad taškas eina kolyvannya.

Vienas iš paprasčiausių kolivano tipų yra ručas išilgai taško M projekcijos ašies, kurį galima apvynioti aplink kuoliuką. Įstatymas qih kolivan maє viglyad x =Rcos (https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif "width =" 19 "height =" 41 src = ">.

Paskambink man dažniu ir žiūrėk ciklo dažnisw =, rodantis vyniojimo atjungimo greitį, pasuktą radianais per sekundę. U tsikh poznachennyah maєmo: x =Rcos (wt +a). (2)

numerį a vardas burbuolės fazė kolyvannya.

Bet kokios rūšies „Vivchennya kolivan“ yra svarbiau, kad būtų galima dažnai jį ištverti šviesiomis ir didelės sėkmės dienomis su dideliais pasisekimais (ligos garsai, ligos elektromagnetika).

Mechaninė įranga.

Mechanikas kolyvannyi vadina ruch til, kuris kartojamas tiksliai (arba maždaug) per tą patį valandos intervalą. Paprastų apykaklių sistemų užpakaliais galima apvynioti spyruokles ar švytuoklę. Tuo pačiu metu, pavyzdžiui, svarelį, aš pasuku ant spyruoklių (div. pav.) Ir judu žemyn. Virdulys dažniau rieda žemyn ir aukštyn..gif "align =" left "width =" 132 height = 155 "height =" 155 ">. Gif" width = "72" height = "59 src =">. Jpg "align =" left "width =" 202 height = 146 "height =" 146 "> Kambario grafikas (2) eikite iš kambario (1) grafiko

įjungta. Skaičius a vadinamas burbuolės faze.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif "width =" 29 "height =" 45 src = ">), de l yra švytuoklės tuzinas, o j0 yra burbuolės išpjova. Be to, švytuoklė yra daugiau, o dar daugiau, geriau eiti. (Tai matyti VIII priedo 1-7 pav.). 8-16 pav., VIII priedas, gerai matyti, kaip ir burbuolės vidhilennya pokytis, įtekantis į švytuoklės svyravimo amplitudę, periodas visiškai nesikeičia. Švytuoklės siūbavimo laikotarpiu per laiko periodą galima apskaičiuoti pagreitėjusią žemišką naštą g žemesniuose žemės paviršiaus taškuose.

Kondensatoriaus iškrova.

Už sinusoidinio įstatymo slypi ne tik daugybė mechanikų. І elektriniuose strypuose yra sinusinės jungtys. Taigi lancete, pavaizduotame viršutiniame dešiniajame modelio manžete, kondensatoriaus plokščių įkrova keičiasi pagal dėsnį q = CU + (q0 - CU) cos ωt, de C- kondensatoriaus blokas, U įtampa ant jerel strum, L induktyvumas: / ritė, https /pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg "align =" left "width =" 348 "height =" 253 src = "> Kondensatoriaus modelio nustatymai, aiškiai programoje" Funkcijos ir grafika ", galima nustatyti naudojant parametrus 1-4 diagramose aiškiai matote, kaip slėgis įpurškiamas į kondensatoriaus jėgos pokytį arba įkrovimą, kai matoma, kad su teigiamas slėgis, įkrovimas taip pat pripučia tas pačias reikšmes.. 5-8 pav. priedas IX rodo, kad keičiant kondensatorių (kai keičiama ritės induktyvumas IX priedo 9-14 pav.) ir išsaugant tą patį parametrus, kinta virpesio periodas, tai yra, kinta purkštukai.kondensatoriaus įkrovimo dažnis .. (padal. papildymai Nr. IX).

Jak z'adnati dvі trimitai.

Uždėkite užpakalį, galite nušauti priešą, kad sinusoidas skambėtų tik ryšyje su varpais. Tačiau taip nėra. Pavyzdžiui, sinusoidinis vikoristovytsya uždarant du cilindrinius vamzdžius nuo pjūvio vienas iki vieno. Schob z'єєdnati du trimitai tokio rango, reikalaudami pamatyti juos navskosi.

Kai tik vamzdis užsidega, jis spindės sinusine forma. Galite apversti žvakę apvynioję popieriumi, apvertę aukštyn ir atidarę popieriumi. Kad galėtumėte nupjauti vamzdžio spygliuočius, galite suformuoti metalinį lakštą iš viršaus išilgai sinusoidinio kelio ir sulenkti jį į vamzdį.

Veselkos teorija.

Pirmyn, pateikta Veselkos Bulos teorija 1637 metai Rene Descartes... Vin aiškindamas vestką, kaip apraišką, surištą atvaizdais ir sulaužytomis lemputėmis lentos taškeliais.

Vandens vaivorykštė per tuos, kad mieguista šviesa mato lūžį vandens taškuose, paisoma lūžimo dėsnio:

de n1 = 1, n2≈1,33 yra lūžimo ir vandens lūžimo rodikliai, α - gedimo greitis ir β - gedimo greitis.

Pivnichne syayvo

Įsiskverbimas į viršutinius planetų atmosferos rutulius, įkraunant mieguistojo vėjo daleles per planetos magnetinio lauko sąveiką su mieguistuoju langu.

Jėga, kuri yra suteikiama ruch magnetiniame lauke, įkraunama dalelei, vadinama jėga Lorencas. Vona yra proporcinga dalelės krūviui ir lauko vektoriaus pridėjimui bei sklandumui dalelės raukšlei

Trigonometrijos vadovas su praktiniu vedliu.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif "width =" 25 "height =" 41">.

Viznachennya kofіtsієnta trynimas.

Tilo wagi P atsigulti ant užgrobtos vietos, įpjovus ratlankį a. Tilo nuo yogo vlasnoy vagi pradžios praėjo pagreitintu greičiu S per t sekundes. Matomumas k.

Sukibimo jėga sugriebti plotą = kPcosa.

Jėga, kuri traukia kelią F = Psina-kPcosa = P (sina-kcosa). (1)

Jei tiesiog griūvate ant pavogtos srities, tada pagreitintas a = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif "width =" 20 "height =" 41 "> == gF; 2 )

Z іvnostі (1) і (2) vipliv, scho g (sina-kcosa) = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif "width =" 129 "height =" 48 "> = gtga-.

Trigonometrija planimetrijoje.

Pagrindinės geometrijų ir trigonometrijos apibrėžimo formulės:

sin²α = 1 / (1 + ctg²α) = tg²α / (1 + tg²α); cos²α = 1 / (1 + tg²α) = ctg²α / (1 + ctg²α);

sin (α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβ; cos (α ± β) = cosα * cos + sinα * sinβ.

Spіvvіdnoshennya šonai ir kutіv stačiakampiame triratyje:

1) Stačiakampio triračio kojelė grįžta į protylny kut liestinę.

2) Stačiakampio triračio kojelė yra atgal į hipotenuzės šoną ant artimojo mazgo sinuso.

3) Stačiakampio triračio kojelė yra paruošta pridėti hipotenuzą prie artimojo mazgo kosinuso.

4) Stačiakampio triračio kojelė grįžta į gretimos kojos kotangentą.

1 užduotis:Šoninėse pusėse AB ir CD lygiašonė trapecijaABCD paimti taškai М иN tokio rango, toks tiesusMN yra lygiagretus trapecijos pagrindams. Iš pažiūros odoje su mažomis trapecijomisMBCN iAMND galima įvesti color iR būtinai. žinoti apieAD ipr. Kr.

duota: ABCD-trapecija, AB = CD, MєAB, NєCD, ​​​​MN || AD, trapecijoje MBCN ir AMND galima kaip pavyzdį įvesti skaičių su spinduliu r ir R.

žinoti: Kr. ir pr. Kr.

Sprendimas:

Nekhai O1 ir O2 - centrai, įrašyti į mažas trapecijas kil. Tiesioginis O1K || CD.

В Δ O1O2K cosα = O2K / O1O2 = (R-r) / (R + r).

Kadangi ΔO2FD yra stačiakampis, tai O2DF = α / 2 => FD = R * ctg (α / 2). Kadangi AD = 2DF = 2R * ctg (α / 2),

panašiai BC = 2r * tg (α / 2).

cos α = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => (Rr) / (R + r) = (1-tg² (α / 2)) / (1 + tg² (α / 2)) => (1-r / R) / (1 + r / R) = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => ruda (α / 2) = √ (r / R) => ctg (α / 2) = √ (R / r), toodi AD = 2R * ctg (α / 2), BC = 2r * tan (α / 2), žinome.

vidpovid : AD = 2R√ (R / r), BC = 2r√ (r / R).

2 užduotis:Trikotnike ABC šone b, iš viršaus į viršų, iš viršaus A. Suskaičiuokite triračio plotą ABC.

duota: Δ ABC, AD aukštis, AE mediana, DAE = α, AB = c, AC = b.

žinoti: SΔABC.

Sprendimas:

Nagi, CE = EB = x, AE = y, AED = γ. Pagal kosinuso teoremą ΔAEC, b² = x² + y²-2xy * cosγ (1); o ΔACE pagal kosinuso teoremą c² = x² + y² + 2xy * cosγ (2). Iš 1 lygaus 2 galime priimti c²-b² = 4xy * cosγ (3).

T.K. SΔABC = 2SΔACE = xy * sinγ (4), tada 3 padalytas iš 4 yra priimtinas: (c²-b²) / S = 4 * ctgγ, ale ctgγ = tgαb, taip pat SΔABC = (c? -B²) / 4 * tgα .

Žiūrėti: (с²- b² ) / 4 * tg α .

Trigonometrija paslaptyje ir architektūroje.

Architektūra nėra viena mokslo sritis, kurioje naudojamos trigonometrinės formulės. Dauguma mažųjų kompozicinių sprendimų ir motyvų vyko už papildomos geometrijos. Neva teoriniai duomenys mažai ką reiškia. Norėčiau nukreipti užpakaliuką, kad sužadinčiau vieną iš Auksinės meno sostinės prancūzų meistro skulptūrų.

Proporcingas statulos motyvavimas yra idealus. Tačiau kai statula buvo pakelta ant aukšto pjedestalo, ji atrodė iškalbinga. Skulptorius nežinojo, kad perspektyvoje į horizontą keičiasi daug detalių, o žvelgiant iš apačios, į kalną, idealumo priešas neatsiranda. Tai buvo atlikta be rosrahunkų pagalbos, o didelio ūgio figūra atrodė proporcingai. Iš esmės, rutulių smarvė remiasi vizuvannya metodais, apytiksliai vimiruvannya, ant akies. Tačiau pagerėjusios ramios proporcijos leido figūrai augti arčiau idealo. Esant tokiam rangui, žinau, kad priartinsiu jus prie statulos iš požiūrio taško, o nuo statulos viršaus iki žmonių akių ir statulos aukščio galite pažvelgti į kitą stalą ( tą patį galima padaryti iš apatinio požiūrio taško), mes patys (1 pav.)

Situacija keičiasi (2 pav.), todėl statulą pakėlus į AC ir NS aukštį, galima išvystyti pjūvio C kosinuso reikšmę, pagal lentelę, tai žinoma matyti rudenį. Proceso metu galima sukurti AN, taip pat sinus kuta C, kad būtų galima pakartotinai konvertuoti rezultatus, viršijančius pagrindinę trigonometrinę tikimybę. cos 2+nuodėmė 2a = 1.

Pakoregavus Mokslų akademijos analizę pirmame ir kitame tipe, galima žinoti proporcijų santykį. Kitas žingsnis – padaryti fotelį, o paskui – skulptūrą, kurią vizualiai pakėlus figūra bus priartinta prie idealo.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif "width =" 162 "height =" 101 ">. gif" plotis = "108 aukštis = 132" aukštis = "132">

Trigonometrija medicinoje ir biologijoje.

bioritmo modelis

Bioritmo modelis gali būti naudojamas papildomoms trigonometrinėms funkcijoms. Norint sukurti ritmo modelį, reikia įvesti žmonių datą, datos datą (diena, mėnuo, diena) ir prognozės trivialumą (dienų skaičius).

Rukh šonkaulis vandenyje Ieškokite sinuso arba kosinuso dėsnio, pavyzdžiui, pritvirtinkite tašką ant uodegos ir tada pažiūrėkite į rucho trajektoriją. Plūduriuojant briaunelė įgauna kreivo formą, kaip ir funkcijos y = tgx grafikas.

Širdies formulė

Dėl išankstinės sesijos, kurią surengė Irano universiteto studentas Shiraz Vahidom-Rezoy Abbasi, Pirmą kartą medikai nepaiso gebėjimo sisteminti informaciją, kaip bendrauti su elektriniu širdies aktyvumu, kitaip tariant, elektrinę kardiografiją.
Formulę, kurią pavadinsiu Teheranu, plati mokslo bendruomenė pristatė 14 -ojoje geografinės medicinos konferencijoje ir, be to, Nižnij Novgorode pristatomoje 28 -ojoje konferencijoje apie kompiuterinių technologijų mitybą kardiologijoje. Ši formulė yra sudėtingas algebrinis-trigonometrinis paritetas, kurį galima išsaugoti 8 variantais, 32 funkcijomis ir 33 pagrindiniais parametrais, įskaitant daugybę papildomų parametrų, skirtų aritmijos problemoms spręsti. Kaip ir gydytojai, formulė pasaulio prasme pateks į pagrindinių širdies veiklos parametrų aprašymo procesą, o mes patys nustatysime diagnozę ir ausis bus visiškai drungni.

Trigonometrija padeda mūsų smegenims pradėti kurti objektus.

Prasideda amerikietiški vcheni, todėl manoma, kad smegenys yra iki objektų, žemės ir žemės ploto viduryje. Griežtai atrodo, kad „vimiruvannya kutiv“ idėja nėra nauja. Be to, Senovės Kinijos menininkai piešė viddaleninius objektus regėjimo lauke, net ir be perspektyvos dėsnių. Suformulavęs vertės teoriją XI amžiaus Alhazeno arabų mokymui įvertinti. Psichologas Jamesas Gibsonas praėjusio amžiaus viduryje reanimavo idėją būti reanimuotam. Tačiau už tai apie teoriją

Mane vėl supykdė.

Naujos laidos rezultatai, kaip galima ir paleisti, pasirodo ne be susidomėjimo tiek robotams navigacines sistemas kuriantiems inžinieriams, tiek žmonėms, dirbantiems per realistiškiausių virtualių modelių lapus. Galimi papildai medicinos srityje, reabilituojant pacientus iš smegenų ausų regionų.

3.2 Grafiniai teiginiai apie "mažo dviračio" trigonometrinių funkcijų transformaciją pradinėse kreivėse.

Kreivės polinėmis koordinatėmis.

su. 16іс. 19 Lizdai.

Polinės koordinatės turi vieną intervalą e, O ašigalis ir poliarinis oras Oh. Bet kurio taško M padėtis prasidės poliariniu spinduliu OM ir poliaus pjūviu j, patvirtinsime mainus OM ir keisime Oh. Skaičius r, kai lenkimas lygus OM per e(ОМ = re) і kuta j skaitinė reikšmė, pasukta laipsniais arba radianais, vadinama taško M polinėmis koordinatėmis.

Bet kuriame taške, žiūrint iš taško O, galite paimti 0≤j<2p и r>0. Tačiau, kai raginama kreives, kurios yra panašios į formą r = f (j), kintamasis j natūraliai spaudžiamas, kad būtų prasmingas (įskaitant ir neigiamą, ir 2p), o r gali būti teigiamas arba neigiamas.

Norėdami sužinoti tašką (j, r), atliktą iš taško Pro min, kuris bus nustatytas nuo Oh pjūvio j pabaigos, і uždėkite naują (jei r> 0) arba iš kitos pusės (r> 0) kitoje pusėje (r> 0) r ½e.

Viskas prasmingai atleista, kai tik koordinačių tinklelis atsiduria priekyje, jį galima laikyti koncentriniuose kiliuose su spinduliais e, 2e, 3e ir tt ..., 340 °, 350 °; bus tam tikri pakeitimai ir j<0°, и при j>360 °; pavyzdžiui, kai j = 740 ° і kai j = -340 ° mi, galima naudoti minutę, o j = 20 °.

Doslіdzhennyu danykh grafіkіv dopomagaє kompiuterinė programa "Funkcijos ir grafikai"... Corystyuyuchis, programos galia nuskaityti trigonometrinių funkcijų tsikavi grafikus.

1 .Aiškios kreivės, pateiktos šeimos:r =+nuodėmė3j

I. r = sin3j (trilisnik ) (1 pav.)

II. r = 1/2 + sin3j (2 pav.), III. r = 1 + sin3j (3 pav.), r = 3/2 + sin3j (4 pav.).

Esant kreivai IV, mažiausia r reikšmė = 0,5 ir žievelės vaizdai gali būti neišsamūs. Kai a> 1, trilio nykštukas gali nesibaigti tokiu rangu, jei a> 1.

2.Atsižvelgiant į kreiveskai a = 0; 1/2; 1; 3/2

Kai a = 0 (1 pav.), kai a = 1/2 (2 pav.), kai a = 1 (3 pav.), smailės gali baigtis žiūrovo galūnėse, kai a = 3/2, bus penkios neužbaigtos smailės., (4 pav.).

3.Žagalny vipad ties kreivar = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif "width = 45 aukštis = 41 "height = 41 ">), nes šiame sektoriuje 0 ° ≤ ≤ 180 ° .. gif "width =" 20 "height =" 41 ">. gif "width =" 16 "height =" 41 "> vienam pelust a" sektoriui "reikia, aš verčiau 360°.

1–4 paveikslo rodmenyse žievelės matomos = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif "width =" 16 "height =" 41 src = ">. Gif" plotis = "16" aukštis = "41 src =">.

4.Lygtys, žinomos gero matematiko-gamtininko Khabenikhta geometrinėms formoms, kurias galima pamatyti roslino šviesoje. Pavyzdžiui, r = 4 (1 + cos3j) і r = 4 (1 + cos3j) + 4sin23j rodo kreives, parodytas 1.2 pav.

Kreivės Dekarto koordinatėmis.

Kreivės į Lissajousą.

Dekarto koordinatėmis galima sukurti daug kreivių. Ypač sudėtinga matyti kreives, kurios pateikiamos parametriniame rodinyje:

De t-dopom_zhne zminne (parametras). Pavyzdžiui, Lissajous kreivės yra pastebimos, tačiau joms būdingos šios savybės:

Jei parametrui t skirsite valandą, Lissage figūrėlės bus dviejų harmoningų sulankstomų griovelių sulankstymo rezultatas, kad jis kiltų esant viena kitai statmenai deformacijai. Ties zagalny vipadku kreivė augs stačiakampio viduryje su kraštinėmis 2a ir 2b.

Aiškiai matosi ant įžeidžiančių užpakalių

I. x = sin3t; y = sin 5t (1 pav.)

II. x = sin 3t; y = cos 5t (2 pav.)

III. x = sin 3t; y = sin 4t. (3 pav.)

Kreivės gali būti uždaros ir neuždarytos.

Pavyzdžiui, lygybę I pakeičiant lygia: x = sin 3t; y = sin5 (t + 3) atvirą kreivę paverčia uždara. (4 pav.)

Tsikavi ir civilinės linijos, pagal bendrą tipą

adresu= Arcsin (sin k (x-a)).

З рівняння y = arcsin (sinx) toliau:

1) i 2) siny = sinx.

Turint du protus, laimingumo funkcija yra y = x. Grafikas її intervale (-; https: //pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif "width =" 77 "height =" 41 "> matimemo y = p-x, taigi yak sin (px ) = sinx i tame pačiame intervale

... Čia diagrama bus rodoma kaip orlaivio tipas.

Kadangi sinx yra periodinė funkcija, kurios periodas yra 2p, tada lamana ABC raginama pakartoti intervale (,) tose pačiose dilenkose.

Rivnyannya y = arcsin (sinkx) bus pateikta kaip laman linia iš laikotarpio https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif "width =" 79 height = 48 "height =" 48 ">

Patenkintas taškų koordinatėmis, kurios iš karto yra sinusinės formos (jiems y> sinx) ir žemiau kreivės y = -sinx, tai yra, sistemos „sprendimo sritis“ išsiskleis iš sričių. kurie auginami 1 pav.

2.Atsižvelgiant į pažeidimus

1) (Y-sinx) (y + sinx)<0.

Šiam nelygumui patikrinti bus naudojami šie funkcijų grafikai: y = sinx; y = -sinx.

Eikime į regiono ūkius, de y> sinx і viena valanda y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-šeši.

Daug nelygumų tenkins regionas, parengtas 2 pav

2) (y2-arcsin2 (sinx)) (y2-arcsin2 (sin (x +)))<0

Pereikime prie įžeidžiančio abejingumo:

(Y-arcsin (sinx)) (y + arcsin (sinx)) (y-arcsin (sin (x +)))) (Y + arcsin (sin (x +))}<0

Norėdami patikrinti šį nelygumą, sąrašą sudaro funkcijų grafikai: y = ± arcsin (sinx); y = ± arcsin (sin (x + )) .

Galimų sprendimų variantų sandėlio lentelė.

Pažvelkime į tolimą puolamųjų sistemų versiją.

) | aš | y |> | nuodėmė (x-) |.

2) Kitas daugiklis yra mažesnis už nulį, tai yra, gif "width =" 17 "height =" 41 ">) |.

3) Trečiasis daugiklis yra mažesnis už nulį, tobto | Y |<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>| Sinx | aš | y |> | sin (x + Pagrindinės disciplinos "href =" / text / category / uchebnie_distciplini / "rel =" bookmark "> pagrindinės disciplinos, technologijos, baitais.

Pergalingas modelis su programomis „Funkcijos ir grafika“ gerokai praplėtė pristatymų vykdymo galimybes, leido materializuoti žinias žvelgiant į papildomą trigonometriją fizikoje. Programos vadovai atliko laboratorinius kompiuterius, kad stebėtų mechanines rankas ant švytuoklės užpakalio, atidarytų rankas elektros žibinte. Pergalingos kompiuterinės programos suteikė galimybę sekti matematinių kreivių ciklą, paprašyti papildomų trigonometrinių ravnyanų ir pagal laikrodžio rodyklę orientuotų grafikų polinėmis ir Dekarto koordinatėmis. Grafinis trigonometrinių nelygumų sprendimas pareikalavo cikliškų matematinių ornamentų išvaizdos.

5. Vicarinės literatūros sąrašas.

1 .., Atanasovo matematiniai uždaviniai su praktiniu vedliu: knyga. mokytojui.-M .: Švietimas, p.

2.Vilenkinas gamtoje ir technikoje: Knyga. už pozaklasny IX-X klasės skaitymą-M .: Apšvietos, 5s (Svit žinios).

3. Domoryad іgri ir rozvagi. Laikykis. red. fiz-mat. liet. M, 9 val.

4. Kožurovo trigonometrija technikumui. Laikykis. red. techninė ir teorinė liet. M., 1956 m

5. Knyga. už matematikos skaitymą vidurinėje mokykloje po pamokų. Laikykis. pirmas ped. red. Min. Švietimas. RF, M., p.

6., Tarakanova trigonometrija. 10 cl ..- M .: Bustard, p.

7. Apie trigonometriją ir ne tik apie ją: knyga 9-11 klasių mokiniams .. -M .: Edukacija, 1996-80 m.

8. Šapiro yra praktiškas matematikos vedlys. Knyga. mokytojui.-M .: Išsilavinimas, 1990-96 m.

Viniko trigonometrija buvo sukurta senais laikais kaip vienas iš astronomijos skirstinių, kaip skaičiavimo aparatas; pagal praktinius žmonių poreikius. Pati astronomija buvo pradžia to, kad viniko sferinė trigonometrija anksčiau buvo plokščia.

Senovės babiloniečių ir egiptiečių trigonometrinių vaizdų aktai yra senovės Graikijos mokslo mokslo pagrindas, senovės Graikijos astronomai sėkmingai transliavo apie trigonometrijos mitybos istoriją. Tačiau smarvė nežiūrėjo į sinuso, kosinuso ir іn linijas, Bet chordi. Kutos sinusų linijos vaidmuo yra stygos vikonuvalas, įtempiant lanką, rivnu 2a.

Graikų astronomas Gipparkhas II a. pr. Kr Tai yra, stygų skaitinių verčių lentelėje esant kiekiams lankai sutraukiami kartu. Daugiau galimybių iš trigonometrijos vyks Ptolemėjaus namuose „Almagesta“.

Ptolemėjo perimetras yra 360 laipsnių, o skersmuo - 120 dalių. Win vvazhav spindulys lygus 60 dalių (60H). Odelė, iš vyno dalių, yra 60 ", o plunksnos oda yra 60", antroji - 60 trečdalių (60 "") ir tt Šiais žodžiais tariant, Šistdejkovo skaičių sistemos greitis, gana. šiek tiek, įtariama esanti Babilonijoje. Zastosovyuchi buvo sakoma, kad Ptolemėjus pasiliko teisingai įrašyto šešių kutniko arba stygos pusėje, įspaudęs 60 ° lanką 60 spindulio dalių (60 H) ir įrašyto kvadrato pusėje arba akorde. akordas 90 ° kampu, priskiriamas 84 H 5110 - ". užrašyto vienpusio triračio - laimėti 103 × 55" 23 "ir kt.

Sustingęs su geometrine teorema, nedirbimo pažinimas, kuris šiuolaikinėmis mąstymo formulėmis prilygsta kitam žingsniui:

Sujungus su pora verpsčių ir lenkimų spindulio dalyse, kurių stygų reikšmės yra 60 ° "ir 72 °, vin virahuvov stygoje, įspaudžiant lanką 6 °, 3 ° kampu; 1,5 ° i, nareshti , –0,75 °. (Akordo vertė nurodyta Mr.

Sulaužytas rožinis leido Ptolemėjus sulankstyti stalą, kaip ir akordus, nuo 0 iki 180 °, skaičiuojant 1 "spindulio tikslumu.

Lentelė, kuri buvo išsaugota iki mūsų valandos, prilygsta sinusų lentelei nuo 0 iki 90 ° su nėrimu 0,25 ° su penkiais dešimties ženklų.

Pirmiausia įvardykite indėnų įvestą sinuso ir kosinuso liniją. Kvapai sudėjo pirmąsias sinusų lenteles, noriu, kad jos būtų tikslios, o ne Ptolemėjas. Indijoje ir skaitykite apie dieną apie trigonometrinius dydžius, vadinamus daugiau goniometrija (iš "gonia" - kut і "Mehr" - vimiryuyu).

Pateikta plėtra apie trigonometrines otrimalo vertes IX - XV a. Vidurinio ir artimo atsitraukimo šalyse daugybė matematikų, kurie tuo metu ne tik tapo greiti, pasiekė dienos pabaigą, bet įnešė reikšmingą indėlį į mokslą.

Vidomy Muhammad ibn Musa al-Khorezm (IX a.) Sinusų ir kotangenų lentelių sklavai. „Al-Habash abo“ (Ahmedas ibn Abdallah al-Marvazi) skaičiavimo lentelės, skirtos liestinei, kotangentui ir kosekantui.

Svarbesni trigonometrijos raidoje yra pratsi al-Battani (bl. 850-929) ir Abu-l-Wafi al-Buzjani (940-998). Likusi sinusų teoremos dalis sferinėje trigonometrijoje, skaičiuojant sinusams lentelę su 15 " intervalu

Abu Raikhanas Muhammadas ibn Ahmad-al-Berunas (pagal Birunio stenogramą (973-1048)) išėjo į viešumą ir tuo pačiu patikslino rezultatus, kuriuos tarpininkai pasiekė trigonometrijos srityje. Pratsi "Canon Mas" uda "laimėti viclavus visi tą valandą trigonometrijos padėties ir sutūptai jas atnaujinti. Svarbi naujovė, Abu-l-Wafoy sunaikinimas, patvirtintas al-Berun. Al-Beruni, paaiškindamas jo ataskaitos pakeitimo priežastis, rodanti, kad viskas skaičiuojama vienu spinduliu, yra paprastesnė.

Nasiras ad-Dinas Muhammadas at-Tusi (1201–1274) savo „Traktate apie keturpusį karą“ buvo pirmasis Viclavas, išsakęs trigonometrinį požiūrį kaip savarankišką matematikos požiūrį, o ne astronomijos priedą. Jogo traktatas metams po to, kai šventė puikią infuziją ant Regiomontana robotų (1436-1476).

Pirmoje XV amžiaus pusėje. Džemšidas ibn Masudas al Kašis labai tiksliai suskaičiavo trigonometrines lenteles iš kroso. Г, kuris ištempė 250 raketų, nebuvo apverstas.

XII – XV amžių Europoje tam yak bouli buvo verčiamas iš arabų ir graikų kalbų į lotynų deyak klasikinį matematinį ir astronominį kūrinį, trigonometrijos raida yra nereikšminga. Atsiradus plokščiams triračiams, sinusų teorema buvo plačiai priimta, žinios apie sinusus gyveno Pivdenny Prancūzijoje, Leo Gersonidas (1288-1344), 1342 metų jaučio trigonometrija buvo išversta į lotynų kalbą. Jis buvo žinomas kaip Europos epochos atstovas trigonometrijos buv Regiomontan srityje. Yogo puikios lentelės sinusų per G su tikslumu iki 7 reikšminio skaitmens ir thi maisternally vicladenia trigonometrinis pratsyu "Penkios knygos apie visų rūšių trikusterius" buvo didelė vertė tam tikram vystymuisi, trigonometrijai XVI-XVII a.

Tuo metu, kai XVII a. plėtojant trigonometriją, atsiranda nauja tiesioginė – analitinė. Kalbant apie trigonometrijos galvos metriką, triračių kūrimas buvo svarbus, geometrinių figūrų elementų skaičiavimas ir trigonometrinių funkcijų idėja buvo grindžiama geometriniu pagrindu, tada XVII - XIX a. trigonometrija palaipsniui išauga į vieną iš matematinės analizės skyrių. Mechanikos, fizikos ir technologijų srityse yra daug sąstingio, ypač susidūrimo ir kitų periodinių procesų evakuacijos atveju. Apie trigonometrinių funkcijų periodiškumo galią žino Vietas, kurio pirmosios matematinės prognozės buvo pateiktos prieš trigonometriją. Šveicarų matematikas Johanas Bernoulli (1642-1727) jau fiksavo trigonometrinių funkcijų simbolius. Jei plėtojama algebrinė simbolika, neigiamų skaičių projekcija ir tiesioginis idėjų skaičiaus aprašymas plečiant kut ir lanko supratimą, tai susidūrimų skaičiaus raida, apie garsą, šviesos ir elektros procesai lėmė buv Iš vidomo fizikos, kaip suderinti harmoningą stygą (pavyzdžiui, švytuoklės svyravimas, kintantis elektrinis strimas)

Harmoninių linijų grafikai fizikoje ir technikoje dažnai vadinami sinusoidinėmis linijomis.

Pirmoje XIX amžiaus pusėje. Ž. Fur'є dovіv prancūzų mokymai, kad ir kaip būtų laikas nuo laiko, jis gali būti pavaizduotas (su tam tikru tikslumu) paprastų harmonijos kolivanų viglyadі sumi.

Reiškinio apie trigonometrines funkcijas išplėtimas pareikalavo suprasti matematinę analoginę bazę prieš formuojant trigonometrines funkcijas:

Trigonometrinių funkcijų analitinės teorijos raidą davė I. Niutonas ir L. Euleris. L. Eilerio garbei skaidrių teorijos pradininkas. Win dodav all trigonometrii suchasny viglyad. Tolesnė teorijos plėtra buvo tęsiama XIX a. M. I. Lobačevskis ir kt. Mūsų trigonometrijos valanda nebeatrodo kaip savaime apsirengusi matematikos gilka. Nayvazhlivisha її dalis - apie trigonometrines funkcijas, - є iš dalies didesnė, iš vieno požiūrio paskatinta apie funkcijas, kurios naudojamos matematinėje analizėje; Inša ir dalis – trikampių sprendimas – atrodo kaip geometrijos galvutė (plokščia ir sferinė).

Trigonometrijos istorija

Trigonometrija yra žodis graikinis riešutas ir pažodžiui reiškia vimir trikutnikiv ( - trikutnik ir  - vimiryuyu).

Šio tipo trikutnikovams yra priežastis vystytis trikutnikams, tai yra, šonų, kutiv ir kitų trikutnik elementų žymėjimas, kaip nurodyta jų veiksmuose. Yra daug praktinių įstaigų, taip pat planimetrijos, stereometrijos, astronomijos įstaigų ir tų, kurie ugdo trynukus.

Trigonometrijos laimėjimas yra susietas su žemės matavimu, astronomija ir pažadinimo skambučiu.

Aš noriu, kad mokslo pavadinimas būtų žinomas neseniai, tai yra dideli pinigai, kad jį gaučiau iš karto prieš supratimo trigonometriją, o iš tikrųjų buvo du tūkstančiai raketų.

Pirma, trikutnikų gaivinimo būdus, pagrįstus pūdymu tarp trikutniko šonų ir kutų, žinojo senovės graikų astronomai Hiparchas (2 a. pr. Kr.) ir I Klaudijus Ptolemėjus (2 a. N. Ye.). Padaugėjus pūdymų tarp dviejų triračio kraštų ir šlaunų, jas imta vadinti trigonometrinėmis funkcijomis.

Reikšmingus trigonometrijos raidos papildymus padarė arabų al-Batanov (850-929) ir Abu-l-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998), tai yra sinusinių ir liestinių lentelių sąrašas po 10’ tikslumu iki 1/60 4 ... Sinusų teoremą žinojo jau indų Bchaskaro (p. 1114, nevidomų mirtis) ir azerbaidžaniečių astronomo bei matematiko Nasiredino Tusi Muhamedo (1201-1274) mokymai. Be to, Nasireddinas Tusi savo robote „Traktatas apie keturias puses“ Viklavo plokščioji ir sferinė trigonometrija kaip nepriklausoma disciplina.

Triviali istorija yra išmoktas sinusas. Tiesą sakant, šių tipų tricitų ir kolų (ir, beje, ir trigonometrinių funkcijų) vystymasis vystosi tuo pačiuIIIStolitti BC didžiųjų Senovės Graikijos matematikų – Euklido, Archmedo, Apolony Pergsky – robotuose. Romėnų laikais Menelajas (ašstolittya n.e.), jei negavau specialaus vardo. Laimingas sinusas , pvz., kai į jaką įsukamas pusakordo jakas, centrinis  kubas spirale sukasi ant jako, pavyzdžiui, styga yra lanko pagrindas.

 M

A'

Mažas. 1

V IV- Vsostinės jau atsirado specialus terminas didžiojo indų mokslininko Ariabhati astronomijoje, kuriame vardai yra pirmasis indėnas Žemės palydovas. Vidrizok AM (1 pav.) buvo pavadintas ardkhadzhiv (ardha - pusė, jiva - tyativa svogūnas, yaku nagaduє akordas). Dar kartą vardas jiva yra trumpesnis. Arabų matematikaiIXstolіttі šį žodį bulo arabiškai pakeitė žodis jayb (opuklіst). Verčiant arabiškus matematinius tekstus sostinėje, bulo pakeičiamas lotynišku sinusu (sinusas- vigin, kreivumas).

Žodis kosinusas yra nabagato jaunesnis. Kosinusas – tse greitas lotyniškas virazuvisiškaisinusas, T. E. „Dodatkovy sinus“ (abo inakshe „dodatkovy lanko sinusas“);cos = nuodėmė(90  -  )).

Tangensi buvo rastas kartu su užduočių apie vakarienės vertę sprendimais. Tangentas (taip pat ir kotangentas) įvestasXarabų matematiko Abu-l-Wafa sostinė, kuri yra pirmoji liestinių ir kotangenų reikšmės lentelė. Tačiau paskutinę valandą europietiškam klerkui ir tangenciniam chuliganui liko neatpažintiXIVstolіtі nіmetskiy matematikas, astronomas Regimontanas (1467). Tangentinės teoremos laimėjimas. Regiomontan sklav taip pat praneša apie trigonometrines lenteles; Plokštuminė ir sferinė trigonometrija Europoje tapo savarankiška disciplina.

Pavadintas „tangentas“, panašus į lotynų kalbątangeris(Stosuvatisya), paskelbta 1583 mTangensaspakeisti jaką "scho stosuєtsya" (liestinių linija panaši į tą patį skaičių).

Tolesnė trigonometrijos raida buvo apleista žymių astronomų Mikolio Koperniko (1473-1543) protėvių - heliocentrinės šviesos sistemos kūrėjo Tycho Brahe (1546-1601) ir Johanneso Keplerio (1571-1630) protėviuose. matematiko François Bi robotuose iškelsiu problemą dėl visų plokščio arba sferinio triračio elementų žymėjimo trimis duomenimis.

Paskutinę valandą trigonometrija buvo grynai geometrinio pobūdžio, ty faktai, kurie iš karto buvo suformuluoti trigonometrinėmis funkcijomis, buvo suformuluoti ir padėti geometriniams suprasti ir tvirtai. Taip buvo vidury šimtmečio, norėjau, kad kai kuriuose pergalinguose metoduose būtų naudojami kai kurie analitiniai metodai, ypač kai atsirado logaritmai. Mabutas, didžiausias stimulas prieš plėtojant trigonometriją, buvo paskelbtas kartu su astronomijos darbuotojų naujienomis, sulaukė didelio praktinio susidomėjimo (pavyzdžiui, vėliau plėtojant laivo misijos dizainą). Astronomai tsіkavili spіvіdnoshennya tarp šonų ir kutami sferiniai triračiai. Turiu gerbti faktą, kad matematikai jau seniai susitvarko su užduotimis.

Tvirtinimas XVIItrigonometrinės funkcijos buvo pradėtos statyti iki užduočių, mechanikos, optikos, elektros, radiotechnikos užduočių, skirtų kolivaliniams procesams apibūdinti, problemų išplėtimui, naujų mechanizmų sugadinimui, pažangioms funkcijoms kurti. ir jie sugalvojo svarbią reikšmę visai matematikai.

Pagrindinėje srityje trigonometrinių funkcijų analitinę teoriją sukūrė žymus matematikasXviiiStolitti Leonardas Eileris (1707-1783) Peterburgo mokslų akademijos narys. Eilerio mokslinis nuosmukis yra didelis, įskaitant labai trumpus rezultatus, tokius kaip matematinė analizė, geometrija, skaičių teorija, mechanika ir matematikos papildymai. Pats Eyleris pirmą kartą pristatė trigonometrinių funkcijų apibrėžimą, tapdamas iš anksto paruošto kut funkcijų vaizdu, paimdamas pateiktas formules. Pislya Eiler trigonometrijos skaičiavimo formų nabulė: faktai buvo pradėti vesti formalios trigonometrijos formulių sąstingio keliu, įrodymai tapo kompaktiškesni ir paprastesni,

Tokio rango trigonometrija triračių kūrimo mokslas tapo trigonometrinių funkcijų mokslu.

Buvusi trigonometrijos dalis, kaip trigonometrinių funkcijų galia ir jų išeikvojimas, jie laikė ją goniometrija (skerspjūvyje - mokslas apie vimіryuvannya kutіv, iš graikinių riešutų  - kut,  - vimіyu Prie termino goniometrija praktiškai neįmanoma priprasti valandą.