Стаціонарне силове поле. Поняття силового поля

Фізичне поле- особлива форма матерії, що зв'язує частинки речовини та передає (з кінцевою швидкістю) вплив одних тіл на інші. Кожному типу взаємодії у природі відповідає своє поле. Силовим полемназивають область простору, у якій на поміщене туди матеріальне тіло діє сила, яка залежить (загалом) від координат і часу. Силове поле називається стаціонарним,якщо чинні в ньому сили не залежать від часу. Силове поле, у будь-якій точці якого сила, що діє на дану матеріальну точку, має одне й те саме значення (за модулем та напрямом), є однорідним.

Можна характеризувати силове поле силовими лініями.В цьому випадку дотичні до силових ліній визначають напрямок дії сили в цьому полі, а густота силових ліній пропорційна величині сили.

Мал. 1.23.

Центральнійназивається сила, линяючи дії якої у всіх положеннях проходить через певну точку, звану центром сили (точка Прона рис. 1.23).

Поле, у якому діє центральна сила, – центральне силове поле. Величина сили F(r),діє на один і той же матеріальний об'єкт (матеріальну точку, тіло, електричний заряд та ін) у різних точках такого поля, залежить тільки від відстані до центру сил, тобто.

(- одиничний вектор у напрямку вектора г). Усі силові

Мал. 1.24. Схематичне уявлення на площині хОуоднорідного поля

лінії такого поля проходять через одну точку (полюс); момент центральної сили в цьому випадку щодо полюса тотожно дорівнює нулю M 0 (F) = з 0. До центральних відносяться гравітаційні та кулонівські поля (і сили відповідно).

На малюнку 1.24 наведено приклад однорідного силового поля(його плоска проекція): у кожному точці такого поля що діє одне й те тіло сила однакова за величиною і напрямі, тобто.

Мал. 1.25. Схематичне подання на хОунеоднорідного поля

На малюнку 1.25 наведено приклад неоднорідного поля, у якому F (х,

у, z) *? const та

і не дорівнюють нулю 1 . Густота силових ліній у різних областях такого поля не однакова - в області праворуч поле сильніше.

Усі сили у механіці можна розбити на дві групи: консервативні сили (діючі в потенційних полях) та неконсервативні (або дисипативні). Сили називаються консервативними (або потенційними),якщо робота цих сил не залежить ні від форми траєкторії тіла, на яке вони діють, ні від довжини шляху в області їхньої дії, а визначається лише початковим та кінцевим положенням точок переміщення у просторі. Поле консервативних сил називається потенційним(або консервативним) полем.

Покажемо, що робота консервативних сил по замкнутому контурі дорівнює нулю. Для цього розіб'ємо замкнуту траєкторію довільно на дві ділянки а2і Ь2(Рис. 1.25). Оскільки сили консервативні, то Л 1а2 = Ат.З іншого боку А 1Ь2 = -А ш.Тоді А іш = А 1а2 + А ш = = А а2 - А Ь2 = 0, що потрібно було довести. Справедливе та протилежне

Мал. 1.26.

твердження: якщо робота сил за довільним замкнутим контуром дорівнює нулю, то сили консервативні, а поле потенційно. Ця умова записується у вигляді контурного інтегралу

Мал. 1.27.

що означає: у потенційному полі циркуляція вектора F за будь-яким замкнутим контуром L дорівнює нулю.

Робота неконсервативних сил у випадку залежить як від форми траєкторії, і довжини шляху. Прикладом неконсервативних сил можуть бути сили тертя і опору.

Покажемо, що це центральні сили ставляться до категорії консервативних сил. Дійсно (рис. 1.27), якщо сила Fцентральна, то її можна перед-

1 Подане на рис. 1.23. центральне силове поле також є неоднорідним полем.

ставити у вигляді У цьому випадку елементарна робота сили F

на елементарному переміщенні d/ буде або

dA = F(r)dlcos а = F(r) dr (бо rdl = rdl cos a, ad / cos а = dr). Тоді робота

де/(г) - первісна функція.

З отриманого виразу видно, що робота Апцентральної сили Fзалежить лише від виду функції F(r)та відстаней г (і г 2 точок 1 і 2 від силового центру і не залежить від довжини шляху від 1 до 2, що і відображає консервативний характер центральних сил.

Наведений доказ є загальним для будь-яких центральних сил і полів, отже, охоплює згадані вище сили – гравітаційні та кулонівські.

Силовим полемназивається фізичне простір, задовольняє умові, що у точки механічної системи, що у цьому просторі, діють сили, залежні від становища цих точок чи то з становища точок і часу (але з їхніх швидкостей).

Силове поле, сили якого не залежать від часу, називається стаціонарним(прикладами силового поля можуть служити поле сили тяжіння, електростатичне поле, поле сили пружності).

Потенційне силове поле.

Стаціонарне силове поленазивається потенційнимякщо робота сил поля, що діють на механічну систему, не залежить від форми траєкторій її точок і визначається тільки їх початковим і кінцевим положеннями. Ці сили називаються силами, що мають потенціал, або консервативними силами.

Доведемо, що наведена умова виконується, якщо існує однозначна функція координат:

звана силовою функцією поля, приватні похідні від якої за координатами будь-якої точки M i (i = 1, 2 ... n) рівні проекції ціям доданої до цієї точки сили на відповідні осі, тобто

Елементарну роботу сили, яка додається до кожної точки, можна визначити за формулою:

Елементарна робота сил, прикладених до всіх точок системи, дорівнює:

Користуючись формулами, отримуємо:

Як видно з цієї формули, елементарна робота сил потенційного поля дорівнює повному диференціалу силової функції. Робота сил поля на кінцевому переміщенні механічної системи дорівнює:

тобто робота сил, що діють на точки механічної системи в потенційному полі, дорівнює різниці значень силової функції в кінцевому та початковому положеннях системи та не залежить від форми траєкторій точок цієї системи. Положення системи не залежить від форми траєкторій точок цієї системи. З цього випливає, що силове поле, для якого існує силова функція, дійсно є. потенційним.

Консервативними силами називаються сили, робота яких залежить від шляху переходу тіла чи системи з початкового положення кінцеве. Характерна властивість таких сил - робота на замкнутій траєкторії дорівнює нулю:

До консервативних сил відносяться: сила тяжіння, гравітаційна сила, сила пружності та інші сили.

Неконсервативними силами називаються сили, робота яких залежить від шляху переходу тіла або системи з початкового положення до кінцевого. Робота цих сил на замкнутій траєкторії відмінна від нуля. До неконсервативних сил відносяться: сила тертя, сила тяги та інші сили.

Силовим полем називається фізичне простір, задовольняє умові, у якому на точки механічної системи, що у цьому просторі, діють сили, залежні від становища цих точок чи то становища точок і часу. Силове поле. сили якого залежать від часу, називається стаціонарним. Стаціонарне силове поле називається потенційним, якщо існує така функція, що однозначно залежить від координат точок системи, через яку проекції сили на координатні осі в кожній точці поля виражаються так: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i; Z i = ∂υ/∂z i.

Кожній точці потенційного поля відповідає, з одного боку, деяке значення вектора сили , що діє тіло, і, з іншого боку, деяке значення потенційної енергії . Отже, між силою та потенційною енергією має існувати певний зв'язок.

Для встановлення зв'язку обчислимо елементарну роботу , що здійснюється силами поля при малому переміщенні тіла, що відбувається вздовж довільно обраного напрямку в просторі, яке позначимо літерою . Ця робота дорівнює

де - проекція сили на напрямок.

Оскільки в даному випадку робота здійснюється за рахунок запасу потенційної енергії, вона дорівнює убутку потенційної енергії на відрізку осі:

З двох останніх виразів отримуємо

Останній вираз дає середнє значення на відрізку. Щоб

отримати значення в точці потрібно зробити граничний перехід:

Так як може змінюватися не тільки при переміщенні вздовж осі, але також і при переміщеннях вздовж інших напрямків, межа в цій формулі представляє робою так звану приватну похідну від:

Це співвідношення справедливе для будь-якого напрямку в просторі, зокрема і для напрямів координатних декартових осей х, у, z:

Ця формула визначає проекції вектора сили координатні осі. Якщо відомі ці проекції, виявляється певним і сам вектор сили:

в математиці вектор ,

де а - скалярна функція х, у, z називається градієнтом цього скаляра позначається символом . Отже сила дорівнює градієнту потенційної енергії, взятого зі зворотним знаком

СИЛОВЕ ПОЛЕ- частина простору (обмежена або необмежена), в кожній точці якої на поміщену туди матеріальну частину діє певна за чисельною величиною і напрямом сила, яка залежить тільки від координат х, у, zцієї точки. Таке С. п. зв. стаціонарним; якщо сила поля залежить і від часу, то С. п. зв. нестаціонарним; якщо сила у всіх точках С. п. має одне й те саме значення, тобто не залежить ні від координат, ні від часу, С. п. зв. однорідним.

Стаціонарне С. п. може бути задано ур-нями

де F x , F y , F z- Проекції сили поля F.

Якщо існує така ф-ція U(x, у, z), звана силовою ф-цією, що елементарна робота сил поля дорівнює повному диференціалу цієї ф-ції, то С. п. зв. потенційним. У цьому випадку С. п. задається однією ф-цією U(x, у, z), а сила F може бути визначена через цю ф-цію рівностями:

або . Умова існування силової ф-ції для даного С. п. полягає в тому, що

або . При переміщенні в потенційному С. п. з точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)в точку М 2 (х 2 , у 2, z 2) робота сил поля визначається рівністю і не залежить від виду траєкторії, по якій переміщується точка докладання сили.

Поверхні U(x, у, z) = const, на яких брало ф-ція зберігає пост. значення, зв. поверхнями рівня. Сила в кожній точці поля спрямована по нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку; при переміщенні вздовж поверхні рівня робота сил поля дорівнює нулю.

Приклади потенційного С. п.: однорідне поле тяжкості, для якого U = -mgz, де т- маса частинки, що рухається в полі, g- прискорення сили тяжіння (вісь zспрямована вертикально догори); ньютонове поле тяжіння, для якого U = km/rде r = - відстань від центру тяжіння, k - постійний даного поля коефіцієнт. Замість силової ф-ції як характеристики потенційного С. п. можна ввести потенційну енергію П, пов'язану з Uзалежністю П(х, у, z)= = -U(x, у, z). Вивчення руху частинки в потенційному С. п. (за відсутності інших сил) суттєво спрощується, тому що в цьому випадку має місце закон збереження механіч. енергії, що дозволяє встановити пряму залежність між швидкістю частинки та її положенням у С. п. с. м. Тарг. СИЛОВІ ЛІНІЇ- Сімейство кривих, що характеризують просторовий розподіл векторного поля сил; напрямок вектора поля в кожній точці збігається з дотичною до С. л. Т. о., ур-ня С. л. довільного векторного поля А (х, у, z) записуються у вигляді:

Щільність С. л. характеризує інтенсивність (величину) силового поля. Область простору, обмежена С. л., що перетинають до-л. замкнуту криву, зв. силовою трубкою. С. л. вихрове поле замкнуті. С. л. потенційного поля починаються на джерелах поля і закінчуються на його стоках (джерелах запереч. знака).

Поняття С. л. введено М. Фарадеєм при дослідженні магнетизму, а потім отримало подальший розвитоку роботах Дж. К. Максвелла з електромагнетизму. Згідно з уявленнями Фарадея і Максвелла, у просторі, що пронизує С. л. електрич. та магн. полів, існують механіч. напруги, що відповідають натягу вздовж С. л. і тиску поперек них. Математично ця концепція виражена в Максвелла тензоре натягу ел-магн. поля.

Поряд із використанням поняття С. л. частіше говорять просто про лінії поля: напруженості електрич. поля Е, індукції магн. поля Утощо, не роблячи спец. акценту ставлення цих нулів до сил.