Похідна у фізиці. Швидкість як похідна Швидкість похідна від відстані за часом

Похідна від координати часу є швидкість. x"(t)=v(t) Фізичний зміст похідної

Похідна від швидкості часу або друга похідна від координати часу є прискорення. a(t)=v "(t)=x""(t)

Точка рухається координатною прямою згідно із законом x(t)= t²+t+2, де x(t) – координата точки в момент часу t (час вимірюється в секундах, відстань у метрах). У який момент часу швидкість точки дорівнюватиме 5 м/с? Рішення: Швидкість точки на момент часу t є похідною від координати за часом. Т. до. v (t) = x "(t) = 2t + 1 і v = 5 м / с, то 2t +1 = 5 t = 2 Відповідь: 2.

При гальмуванні маховик за t секунд повертається на кут φ (t) = 6 t-t² радіан. Знайдіть кутову швидкість обертання маховика в момент часу t = 1с. (φ (t) - кут у радіанах, ω (t) - швидкість в рад/с, t - час у секундах). Рішення: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 - 2t t = 1 c. ω (1) = 6 - 2 × 1 = 4 рад / с Відповідь:4.

При русі тіла за прямою його швидкість v(t) за законом v(t)=15+8 t -3t² (t - час руху тіла в секундах). Яким буде прискорення тіла (м/с²) через секунду після початку руху? Рішення: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 м/с² Відповідь: 2.

Застосування похідної у фізичних задачах. Заряд, що проходить через поперечний переріз провідника, обчислюється за формулою q(t)=2t 2 -5t. Знайти силу струму за t=5c. Рішення: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 А. Відповідь:15.

При русі тіла по прямій відстань s(t) від початкової точки М змінюється за законом s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t-час у секундах). Яким буде прискорення тіла (м/с 2) через 3 секунди? Рішення. a(t)=v "(t)=s""(t). Знайдемо v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a(t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36м/с 2. Відповідь.

Переходячи до фізичних додатків похідної, ми використовуватимемо дещо інші позначення ті, які у фізиці.

По-перше, змінюється позначення функцій. Справді, які функції ми збираємось диференціювати? Цими функціями служать фізичні величини, залежні від часу. Наприклад, координата тіла x(t) та його швидкість v(t) можуть бути задані формулами на кшталт таких:

Є ще одне позначення похідної, дуже поширене як у математиці, і у фізиці:

(читається ¾де ікс по де тэ¿).

Зупинимося докладніше на значенні позначення (29). Математик розуміє його подвійно або як межа:

або як дріб, у знаменнику якої стоїть збільшення часу dt, а чисельнику так званий диференціал dx функції x(t). Поняття диференціала не складно, але ми не будемо його зараз обговорювати; воно чекає на вас на першому курсі.

Фізик, не скований вимогами математичної суворості, розуміє позначення (29) більш неформально. Нехай dx є зміна координати за час dt. Візьмемо інтервал dt настільки маленьким, що відношення dx=dt близько до своєї межі (30 ) з точністю, що влаштовує нас.

І тоді, скаже фізик, похідна координати за часом є просто дріб, в чисельнику якої стоїть досить мала зміна координати dx, а в знаменнику досить малий проміжок часу dt, протягом якого ця зміна координати відбулася. Таке не суворе розуміння похідної притаманно міркувань у фізиці. Далі ми дотримуватимемося саме цього фізичного рівня суворості.

Давайте повернемося до вихідного прикладу (26) і порахуємо похідну координати, а заразом подивимося на спільне використання позначень (28) і (29):

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Символ диференціювання dt d перед дужкою це все одно, що штрих зверху за дужкою в колишніх позначеннях.)

Зверніть увагу, що обчислена похідна координати дорівнювала швидкості тіла (27 ). Це не випадковий збіг, і нам потрібно обговорити його докладніше.

2.1 Похідна координати

Насамперед зауважимо, що швидкість (27 ) може бути як позитивною, так і негативною. А саме, швидкість позитивна при t< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Як це розуміти? Дуже просто: ми маємо справу не з абсолютною величиною швидкості, а з проекцією vx вектора швидкості на вісь X. Тому замість (27) правильніше було б написати:

Якщо ви забули, що таке проекція вектора на вісь, прочитайте відповідний розділ статті ¾ Вектори у фізиці¿. Тут ми нагадаємо лише, що знак проекції vx відображає зв'язок напрямку швидкості та напряму осі X:

vx > 0 тіло рухається в напрямку осі X ; vx< 0 , тело движется против оси X.

(Наприклад, якщо vx = 3 м/с, це означає, що тіло рухається зі швидкістю 3 м/с у бік, протилежну осі X.)

Тому в прикладі (31 ) ми маємо наступну картину руху: при t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2 тіло, розганяючись, рухається у негативному напрямку осі X.

Припустимо, що швидкість тіла за абсолютною величиною дорівнює v. Можливі два випадки напряму руху.

1. Якщо тіло рухається в позитивному напрямку осі X, то мале зміна координати dx позитивно і дорівнює шляху, що проходить тілом за час dt. Тому

x = dx dt = v:

2. Якщо тіло рухається у негативному напрямку осі X, то dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Зауважимо тепер, що у першому випадку vx = v, тоді як у другому випадку vx = v. Тим самим обидва випадки об'єднуються в одну формулу:

і ми приходимо до найважливішого факту: похідна координати тіла дорівнює проекції швидкості тіла на цю вісь.

Легко бачити, що працює ознака зростання (зменшення) функції. А саме:

x > 0) vx > 0) тіло рухається у напрямку осі X) координата x збільшується; x< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Прискорення

Швидкість тіла характеризує швидкість зміни його координати. Але швидкість також може змінюватися повільніше чи швидше. Характеристика швидкості зміни швидкості служить фізична величина, звана прискоренням.

Нехай, наприклад, швидкість автомобіля при рівномірному розгоні збільшилася з v0 = 2 м/с до v = 14 м/с за час t = 3 с. Прискорення автомобіля обчислюється за такою формулою:

Таким чином, за секунду швидкість автомобіля збільшується на 4 м/с.

А чому рівне прискорення, якщо швидкість, навпаки, зменшилася з v0 = 14 м/с до v = 2 м/с за той самий час t = 3 c? Тоді за формулою (33) отримуємо:

За секунду, як бачимо, швидкість зменшується на 4 м/с.

Чи можна говорити про прискорення, якщо швидкість змінюється нерівномірно? Звичайно, можна, але це буде миттєве прискорення, яке також залежить від часу. Схема міркувань вам вже добре знайома: у формулі (33 ) замість проміжку часу t беремо малий проміжок dt, замість різниці v v0 беремо збільшення dv швидкості за час dt, і в результаті отримуємо:

Таким чином, виходить, що прискорення - це похідна швидкості.

Формула (34 ), однак, не описує всі ситуації, що виникають у механіці. Наприклад, при рівномірному русі по колу швидкість тіла не змінюється по модулю, і відповідно до (34 ) ми мали б отримати a = v = 0. Але ви чудово знаєте, що прискорення у тіла є, воно спрямоване до центру кола і називається доцентровим. Тому формула (34) потребує деякої модифікації.

Ця модифікація пов'язана з тим, що прискорення насправді є вектором. Виявляється, вектор прискорення показує напрямок зміни швидкості тіла. Що це означає ми зараз з'ясуємо на простих прикладах.

Нехай тіло рухається вздовж осі X. Розгляньмо два випадки напрямку прискорення: по осі X і проти осі X відповідно.

1. Вектор прискорення ~a спрямований з віссю X (рис. 18). Проекція прискорення вісь X позитивна: ax > 0.

Мал. 18. ax > 0

У даному випадку швидкість змінюється у позитивному напрямку осі X. А саме:

Якщо тіло рухається праворуч (vx > 0), воно розганяється: швидкість тіла по модулю збільшується. Проекція швидкості vx у своїй також збільшується.

Якщо тіло рухається вліво (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Таким чином, якщо ax > 0, то проекція швидкості vx зростає незалежно від того,

у якому напрямі рухається тіло.

2. Вектор прискорення ~a спрямований протилежно до осі X (рис. 19). Проекція прискорення на вісь X негативна: ax< 0.

Мал. 19. ax< 0

У даному випадку швидкість змінюється у негативному напрямку осі X. А саме:

Якщо тіло рухається праворуч (vx > 0), воно гальмує: швидкість тіла за модулем зменшується. Проекція швидкості vx у своїй також зменшується.

Якщо тіло рухається вліво (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Таким чином, якщо ax< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Виявлений у цих прикладах зв'язок знака проекції прискорення ax зі зростанням (зменшенням) проекції швидкості vx призводить до потрібної модифікації формули (34 ):

приклад. Ще раз повернемося наприклад (26):

x = 1 + 12t 3t2

(Координата вимірюється в метрах, час у секундах). Послідовно диференціюючи двічі, отримуємо:

vx = x = 126t;

ax = vx = 6:

Як бачимо, прискорення постійно за модулем і дорівнює 6 м/с2. Спрямовано прискорення у бік, протилежний осі X.

Наведений приклад є випадок рівноприскореного руху, при якому модуль та напрямок прискорення незмінні (або, коротше кажучи, ~a = const). Рівноприскорений рух один з найважливіших і найпоширеніших видів руху в механіці.

З цього прикладу неважко зрозуміти, що з рівноприскореному русі проекція швидкості є лінійної функцією часу, а координата квадратичною функцією.

приклад. Розглянемо екзотичніший випадок:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3.

Досі поняття похідної ми пов'язували з геометричним уявленням графіка функції. Однак було б грубою помилкою обмежувати роль поняття похідної одним лише завданням про

визначення нахилу дотичної до даної кривої. Ще більш важливим, з наукового погляду, завданням є обчислення швидкості зміни будь-якої величини мінливої ​​з часом. Саме з цього боку Ньютон і підійшов до диференційного числення. Зокрема, Ньютон прагнув проаналізувати явище швидкості, розглядаючи час і становище частинки, що рухається як змінні величини (за висловом Ньютона, «флюенти»). Коли деяка частка рухається вздовж осі х, то її рух цілком визначено, якщо задана функція вказує положення частинки х у будь-який момент часу t. «Рівномірний рух» з постійною швидкістю по осі х визначається лінійною функцією де є положення частинки в початковий момент

Рух частки на площині описується вже двома функціями

які визначають її координати як функції часу. Зокрема, рівномірному руху відповідають дві лінійні функції

де дві «компоненти» постійної швидкості, а і з - координати початкового положення частки (при траєкторії частки є пряма лінія, рівняння якої

виходить шляхом виключення із двох вартих вище співвідношень.

Якщо частка рухається у вертикальній площині х, під дією однієї лише сили тяжіння, то рух її (це доводиться в елементарній фізиці) визначено двома рівняннями

де постійні величини, що залежать від стану частки в початковий момент, прискорення сили тяжіння дорівнює приблизно 9,81, якщо час вимірюється в секундах, а відстань - в метрах. Траєкторія руху, що отримується шляхом виключення з двох даних рівнянь, є парабола

якщо в іншому випадку траєкторією є відрізок вертикальної осі.

Якщо частка змушена рухатися деякою даною кривою (подібно до того як поїзд рухається по рейках), то рух її може бути визначено функцією (функцією часу рівної довжині дуги обчислюваної вздовж даної кривої від деякої початкової точки до положення частинки в точці Р в момент часу Наприклад, якщо йдеться про одиничному колі, то функція визначає на цьому колі рівномірний обертальний рух зі швидкістю с.

Вправа. Накреслити траєкторії плоских рухів, заданих рівняннями: в описаному вище параболічному русі припустити початкове положення частинки (при початку координат і вважати Знайти координати найвищої точки траєкторії. Знайти час і значення х, відповідні вторинному перетину траєкторії з віссю

Першою метою, яку поставив собі Ньютон, було знаходження швидкості частки, що рухається нерівномірно. Розглянемо для простоти рух частинки вздовж деякої прямої лінії, заданий функцією Якби рух був рівномірним, тобто відбувався з постійною швидкістю, то цю швидкість можна було б знайти, взявши два моменти часу і відповідні їм положення частинок і склавши відношення

Наприклад, якщо виміряно в годиннику, а ; в кілометрах, то при різниці буде число кілометрів, пройдених за 1 годину, швидкість (кілометрів на годину). Говорячи, що швидкість є величина постійна, мають на увазі лише те, що різницеве ​​ставлення

не змінюється за будь-яких значеннях Але якщо рух нерівномірний (що має, наприклад, місце при вільному падінні тіла, швидкість якого в міру падіння зростає), то відношення (3) не дає значення швидкості в момент а являє собою те, що прийнято називати середньою швидкістю у проміжку часу від до Щоб отримати швидкість в момент потрібно обчислити межу середньої

Таким чином, разом з Ньютоном визначимо швидкість так:

Іншими словами, швидкість є похідною від «пройденого шляху» (координати частки на прямий) за часом, або «миттєва швидкість зміни» шляху по відношенню до часу - на противагу середньої швидкості зміни, що визначається за формулою (3).

Швидкість зміни самої швидкості називається прискоренням. Прискорення - це похідна від похідної; воно зазвичай позначається символом і називається другою похідною від функції

Галілей зауважив, що вертикальна відстань х, що проходить при вільному падінні тіла протягом часу виражається формулою

Фізичний зміст похідної. До складу ЄДІ з математики входить група завдань для вирішення яких необхідне знання та розуміння фізичного сенсу похідної. Зокрема, є завдання, де дано закон руху певної точки (об'єкта), виражений рівнянням і потрібно знайти його швидкість у певний момент часу руху, або час, через який об'єкт придбає певну задану швидкість.Завдання дуже прості, вирішуються вони на одну дію. Отже:

Нехай заданий закон руху матеріальної точки x (t) вздовж координатної осі, де x координата точки, що рухається, t - час.

Швидкість у певний час – це похідна координати за часом. У цьому полягає механічний сенс похідної.

Аналогічно, прискорення – це похідна швидкість за часом:

Таким чином, фізичний сенс похідної це швидкість. Це може бути швидкість руху, швидкість зміни будь-якого процесу (наприклад зростання бактерій), швидкість виконання роботи (і так далі, прикладних завдань безліч).

Крім того, необхідно знати таблицю похідних (знати її потрібно також як таблицю множення) і правила диференціювання. Якщо конкретно, то вирішення обумовлених завдань необхідно знання перших шести похідних (див. таблицю):

Розглянемо завдання:

x (t) = t 2 - 7t - 20

де x t – час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 5 c.

Фізичний зміст похідної це швидкість (швидкість руху, швидкість зміни процесу, швидкість роботи і т.д.)

Знайдемо закон зміни швидкості: v(t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 маємо:

Відповідь: 3

Вирішити самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 6t 2 – 48t + 17, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 9 c.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, де xt- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 6 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = -t 4 + 6t 3 + 5t + 23

де x- Відстань від точки відліку в метрах,t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 3 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x(t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 6 м/с?

Знайдемо закон зміни швидкості:

Для того, щоб знайти, в який момент часуtшвидкість дорівнювала 3 м/с, необхідно вирішити рівняння:

Відповідь: 3

Вирішіть самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = t 2 – 13t + 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- Час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Зазначу, що орієнтуватись тільки на такий тип завдань на ЄДІ не варто. Можуть несподівано ввести завдання зворотні представленим. Коли дано закон зміни швидкості та стоятиме питання про знаходження закону руху.

Підказка: у разі необхідно знайти інтеграл від функції швидкості (це як і завдання одне дію). Якщо потрібно знайти пройдену відстань за певний момент часу, необхідно підставити час у отримане рівняння і обчислити відстань. Втім, ми такі завдання теж розбиратимемо, не пропустіть!Успіхів вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.